【简介】
河图与洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为"宇宙魔方"。
【传说】
相传，上古伏羲氏时，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负"河图"，献给伏羲。伏羲依此而演成八卦，后为《周易》来源。又相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮"洛书"，献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》。《易·系辞上》说："河出图，洛出书，圣人则之"，就是指这两件事。
【内容】
河图上，排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷的奥秘；洛书上，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆等于15，十分奇妙。对此，中外学者作了长期的探索研究，认为这是中国先民心灵思维的结晶，是中国古代文明的第一个里程碑。《周易》和《洪范》两书，在中华文化发展史上有着重要的地位，在哲学、政治学、军事学、伦理学、美学、文学诸领域产生了深远影响。作为中国历史文化渊源的河图洛书，功不可没。
【阴阳五行术数之源】
河图洛书是中华文化，阴阳五行术数之源。最早记录在《尚书》之中，其次在《易传》之中，诸子百家多有记述。太极、八卦、周易、六甲、九星、风水、等等皆可追源至此。1987年河南濮阳西水坡出土的形意墓，距今约6500多年。墓中用贝壳摆绘的青龙、白虎图像栩栩如生，与近代几无差别。河图四象、28宿俱全。其布置形意，上合天星，下合地理，且埋葬时已知必被发掘。同年出土的安徽含山龟腹玉片，则为洛书图像，距今约5000多年。可知那时人们已精通天地物理，河图、洛书之数了。据专家考证，形意墓中之星象图可上合二万五千年前。这说明邵庸等先哲认为"河图、洛书乃上古星图"，其言不虚。
【释义】
一，河图之象
河图用十个黑白园点表示阴阳、五行、四象，其图为四方形。如下：
北方：一个白点在内，六个黑点在外，表示玄武星象，五行为水。
东方：三个白点在内，八个黑点在外，表示青龙星象，五行为木。
南方：二个黑点在内，七个白点在外，表示朱雀星象，五行为火。
西方：四个黑点在内，九个白点在外，表示白虎星象，五行为金。
中央：五个白点在内，十个黑点在外，表示时空奇点，五行为土。
（其中，单数为白点为阳，双数为黑点为阴。四象之中，每象各统领七个星宿，共28宿。）以上为《河图》。其中四象，按古人座北朝南的方位为正位就是：前朱雀，后玄武，左青龙，右白虎。此乃风水象形之源也。
二，河图之数
1，天地之数：河图共有10个数，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中1，3，5，7，9，为阳，2、4、6、8、10、为阴。阳数相加为25，阴数相加得30，阴阳相加共为55数。所以古人说："天地之数五十有五"，即天地之数为55，"以成变化而行鬼神也"。即万物之数皆由天地之数化生而已。
2，万物生存之数：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。所以一为水之生数，二为火之生数，三为木之生数，四为金之生数，五为土之生数。六为水之成数，七为火之成数，八为木之成数，九为金之成数，十为土之成数。万物有生数，当生之时方能生；万物有成数，能成之时方能成。所以，万物生存皆有其数也。
3，五行之数：五行之数即五行之生数，就是水一、火二、木三、金四、土五，也叫小衍之数。一、三、五、为阳数，其和为九，故九为阳极之数。二、四为阴数，其和为六，故六为阴之极数。阴阳之数合而为15数，故化为洛书则纵横皆15数，乃阴阳五行之数也。
4，大衍之数：大衍之数50即五行乘土之成数10；同时也是天地之数的用数。天地之数55，减去小衍之数5得大衍之数50，其中小衍为天地之体数，大衍为天地之用数。所谓"大衍之数50其用49"，就是用大衍之数预测的占筮之法：以一为体，四十九为用，故其用四十又九。
5，天干交合之数：河图之数十，乃十天干之数也。交合之数为：一、六共宗，二、七同道，三、八为朋，四、九为友，五、十同德。正是万物生存之数。所以甲己合为一、六共宗，乙庚合为二、七同道，丙辛合为三、八为朋，丁壬合为四、九为友，戊癸合为五、十同德。十天干经交合之后，化为天干交合之五行，将河图五行之体化为天干五行之用。
6，六甲纳音之数：天地之数55加上五行之数5，合化为60甲子五行纳音之数。十天干之阴阳五行与万物相交，同气相求，同声相应各发出12种声音，无声无音不计，按河图北、东、南、西、中成象五位五行共60纳音。乃天地五行声音之数也。
河图之理
1，河图左旋之理：坐北朝南，左东右西，水生木、木生火、火生土、土生金、金生水，为五行左旋相生。中心不动，一、三、五、七、九、为阳数左旋；二、四、六、八、十、为阴数左旋；皆为顺时针旋转，为五行万物相生之运行。我们知道，银河系等各星系俯视皆右旋，仰视皆左旋。所以，"生气上转，如羊角而升也"。故顺天而行是左旋，逆天而行是右旋。所以顺生逆死，左旋主生也。
2，河图象形之理：河图本是星图，其用为地理，故在天为象，在地成形也。在天为象乃三垣二十八宿，在地成形则青龙、白虎、朱雀、玄武、明堂。天之象为风为气，地之形为龙为水，故为风水。乃天星之运，地形之气也。所以四象四形乃纳天地五行之气也。
3，河图五行之理：河图定五行先天之位，东木西金，南火北水，中间土。五行左旋而生，中土自旋。故河图五行相生，乃万物相生之理也。土为德为中，故五行运动先天有好生之德也。
4，河图阴阳之理：土为中为阴，四象在外为阳，此内外阴阳之理；木火相生为阳，金水相生为阴，乃阴阳水火既济之理；五行中各有阴阳相交，生生不息，乃阴阳互根同源之理；中土为静，外四象为动，乃阴阳动静之理。若将河图方形化为圆形，木火为阳，金水为阴，阴土阳土各为黑白鱼眼，就是太极图了。此时水为太阴，火为太阳，木为少阳，金为少阴，乃太极四象也。故河图乃阴阳之用，易象之源也。易卜乃阴阳三才之显也。
5，河图先天之理：什么叫先天？人以天为天，天以人为天，人被天制之时，人是天之属，人同一于天，无所谓人，此时之天为先天；人能识天之时，且能逆天而行，人就是天，乃天之天，故为后天。先天之理，五行万物相生相制，以生发为主。后天之理，五行万物相克相制，以灭亡为主。河图之理，土在中间生合万物，左旋动而相生，由于土在中间，相对克受阻，故先天之理，左行螺旋而生也。又，河图之理为方为静，故河图主静也。
河图之象、之数、之理、至简至易，又深邃无穷。暂且论之。
来源传说
中国易学关于八卦来源的传说，最初指天赐的祥瑞。河洛之辞，最早见于《尚书·顾命》，又见于《论语·子罕》。《尚书·顾命》：“大玉，夷玉，天球，河图在东序。”《管子·小臣》：“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，今三祥未见有者。”《周易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”认为八卦乃据河洛推演出来。汉人多宗此说，以河洛解释八卦来源。
（1）河洛所指，后世理解不一。西汉刘歆以河图为八卦，以《尚书·洪范》为洛书。汉代纬书有《河图》九篇，《洛书》六篇。以九六附会河洛之数。宋初陈抟创“龙图易”。吸收汉唐九宫说与五行生成数，提出一个图式，名龙图，即河图。西蜀隐者则以陈抟之先天太极图为河图。刘牧将陈抟龙图发展为河图、洛书两种图式，将九宫图称为河图，五行生成图称为洛书。南宋朱震于《周易挂图》中载其图。南宋蔡元定认为刘牧将河图与洛书颠倒了，将九宫图称为洛书，五行生成图称为河图。朱熹《周易本义》卷首载其图。后世所称一般以蔡说为准。南宋薛季宣以九数河图、十数洛书为周王朝的地图、地理志图籍。清黄宗羲《易学象数论》、胡渭《易图明辨》亦认为河图洛书为四方所上图经一类。今人高亨认为河图洛书可能是古代地理书，另有人认为河图为上古气候图，洛书为上古方位图，或以为河图为天河之图。众说不一，尚在继续探求中。
（2）河图，洛书的关系。一般认为河图为体，洛书为用；河图主常，洛书主变；河图重合，洛书重分；方圆相藏，阴阳相抱，相互为用，不可分割。汉代刘歆认为：“河图洛书相为经纬。”（《汉书·五行志》注）南宋朱熹、蔡元定：“河图主全，敌极于十；洛书主变，故极于九。”“河图以五生数统五成数而同处于方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，盖主于阳以统阴而肇其变，数之用也。”并认为河图象天圆，其数为三，为奇；洛书象地方，其数为二，为偶。（《易学启蒙》）蔡沉：“河图体圆而用方，圣人以之而画卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。”并认为河图主象、洛书主数；河图主偶、洛书主奇；河图主静、洛书主动。（《洪范皇极·内篇》）清万年淳以图之方圆论河洛关系，认为：“河图外方而内圆”，“中十点作圆布”，“外四圈分布四方，为方形，十包五在内，仍然圆中藏方，方中藏圆，阴中有阳，阳中有阴之妙也。而十五居中，即洛书纵横皆十五之数，是又河图包裹洛书之象。河图点皆平铺，无两折，洛书亦然。”“洛书外圆而内方，圆者黑白共四十数，圆布精其外，包裹河图之象。”“河图已具洛书之体，洛书实有运用河图之妙，因将图书奇偶方圆交互表之以图。”（《易拇》）近代杭辛斋认为：“河图为体而中有用，洛书为用而中有体。”“有以图书配八卦者，多拘执而不能悉当，其实河图为体、洛书为用，河图即先天，洛书即后天。”“故图与书，相互表里，不能分割。”（《易楔》）还有人认为河图重“合”，具有奇偶相配、阴阳互抱、生成相依的特点；洛书重“分”，具有奇偶分离，生成异位的特点，两者一分一合，体现对立统一、盛衰动静的辩证关系。
《易.系辞上》：“是故天生神物，圣人则之；天地变化，圣人故之；天垂象见吉凶，圣人象之；河出《图》，洛出《书》，圣人则之。”孔子相信河图、洛易的存在，并以二者作为圣人作《易》的四条依据之一。
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九宫对河图，洛书的图形，文献一直保存至今。河图实际是1——10排列而成，5和10构成中宫，奇数为阳，白色，代表天数（生数）；偶数为阴，为黑，代表地数（成数）。洛书实际是九宫，即1——9排列而成，横，竖，斜三个数相加和都是15。河图、洛书形式不同，本质相同，都表示历法和卜筮，四面八方，四时八节，八卦，九宫及五位统一的体系。十月太阳历与《河图》有相通之处，原因在于它们有同样的源头。
《尚书.顾命》：“大玉，夷玉，天球，河图，在东序。”孔传认为河图即八卦。有文献说伏羲时龙马负图出于河，也有尧，禹受图的说法。《竹书纪年》轩辕“五十年秋七月庚申，凤鸟至，帝祭于洛水”沈约注：“龙图出河，龟书出洛......“风后受图的说法流传很广。有人以为龙马为东方七宿的龙与天马四，与《山海经》中的“马身而龙首”相符，当为上古龙马图腾的人在星空中找到的龙马。从贾湖文化来看，8000多年前有卜卦是事实，产生河图一类的图文是可能的。后来相传，成为“帝王受命之瑞”。
汉代认为洛书即《洪范》九畴。“天兴禹洛出书，神龟负文而出，列于背，有数至于九，禹遂因而第之以成九类常道。”《汉书.五行志上》认为《尚书.洪范》中从“初一曰五行”到“长用六极”是《洛书》本文。《易纬.乾凿度》所说太乙行九宫之法，成为后世术士所用的洛书。太乙即太一，所行九宫为：中央招摇，北宫叶蛰，东北天留，东宫仓门，东南阴洛。南宫上天，西南玄委，西宫仓果，西北新洛。太一移宫的日期为冬至，立春，春分，立夏，夏至，立秋，秋分，立冬八节。八节又与八风相应。八卦的八个方位加上中央就是九宫。八卦的方位与八节对应，从日运行方位和斗柄指向均可得到证明。以后天八卦为例，震为东，代表春分；巽为东南，代表立夏；离为南，代表夏至；坤为西南，代表立秋；兑为西，代表秋分；乾为西北，代表立冬；坎为北，代表冬至；艮为燕北，代表立春。后天八卦由周文王定，那以前的先天八卦则是：震东立春，离东春分，兑东南立夏，乾南夏至，巽西南立秋，坎西秋分，艮西北立冬，坤北冬至。周代以前八卦和美洲印第安人八卦都是得天独厚天八卦。我国发现了很多“八角星”图案。距禽大约6500年的崧泽文化多处遗址及江苏坯县大墩子大汶口文化遗址是比较早的。距今4000年的内蒙赤峰敖汉旗小河沿文化仍有类似图案。安徽含山凌家滩出土的一只玉鸟上，胸腹部刻有八角星图案，而夹在玉龟腹甲与背甲之间的长方形玉片上的图案，即为上古的洛书。玉片边缘的贺孔数，为四、五、九、五。是表示太一自循行至四，还至中央五，自六循行到九，还至中央五。湖南安乡汤家岗大溪文化的八角星图案，与墨西哥阿斯特克太阳历石有相似的格局。楚缯书的十二月相图四方书的十二月相图四方各一棵扶桑树，与密斯特克（印第安人一支）坛台八卦扶桑图的扶桑树相似。密斯特克的扶桑图作八卦九宫格局。可见，河图洛书就是八卦九宫，四时四方五位与八节八方九宫只是把一年和方位进行四分与八分的区别，中宫之位无关紧要。
上古的河图洛书正如考古所见，应只是图形，没有数字。二千年前传下来的数字的河图、洛书，虽然一个是10个数，一个是9个数，本质上却相同。其论证参看葛志毅先生《明堂月令考论》一文的相关部分（《求是学刊》）2002年第5期）
河图洛书的意义在于，第一证实了《易》关于卜筮与天地相应的思想早在六、七千年前就有了具体体现。第二，承认中国南方和东南亚的八角八芒图案和美洲太阳历石为历法，就应该承认6500年前的相似图案也是历法。第三，要用发展的眼光看历史，早期八卦无文字形式，良渚文化已有用数字记录的卦文，周原遗址则出土了用一、--表示卦象，但八卦在中华文化的温长历史中至少八千年连续传承，并分布到环太平洋地区是不容忽视的事实。讲史、写史不应忽视这些事实。
民间传说
【起源与传说】
关于河图洛书起源的学说。古今认识不一。传统一般认为“河出图，洛出书”，《周易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”《礼记·礼运》：“河出马图”。先秦也有持否定观点：
（1）伏羲受河图，画八卦。《尚书·顾命》孔安国传：“伏羲王天下，龙马出河，遂则其以画八卦，谓之河图。”《礼含文嘉》：“伏羲德合天下，天应以鸟兽文章，地应以河图洛书，乃则之以作《易》。”《汉书·五行志》：“刘歆以为伏羲氏继天而王，受河图，则而图之，八卦是也。”
（2）黄帝受河图，作《归藏易》。《竹书纪年》：“黄帝五十年秋七月，庚申，凤鸟至，帝祭于洛水。”注：“龙图出河，龟书出洛，赤文篆字，以授轩辕。”《路史·黄帝纪》：“黄帝有熊氏，河龙图发，洛龟书成……乃重坤以为首，所谓《归藏易》也。故曰归藏氏。”
（3）帝尧得龙马图。《宋书·符瑞志》：“帝在位七十年，修坛于河、洛，新闻社舜等升首山遵河渚，乃省龙马衔甲赤文，绿龟临坛而止，吐甲图而去。甲似龟，背广九尺，其图以白玉为检，赤玉为字，泥以黄金，约以专绳。”
（4）帝舜得黄龙负河图。《宋书·符瑞志》：“舜设坛于河，黄龙负图，图长三十三尺，广九尺，出于坛畔，赤文绿错。”
（5）大禹受洛书。《竹书纪年》：“帝禹夏后氏。”陈注：“当尧之时，禹观于河，有长人，白面鱼身，出曰：吾河精也。呼禹曰：文命治水。言讫授禹河图，言治水事……洛书龟书是为洪范。”《汉书·五行志》：“刘歆以为，禹治洪水，赐洛书，法而陈之，九畴是也。”
（6）成汤至洛得赤文。《宋书·符瑞志》：“汤东至洛，观尧坛，有黑龟，并赤文成字。”
（7）文王受洛书、应河图。
（8）成王观河、洛，得龙图、龟书。然河图、洛书究为何物，宋以前古籍文献一直未载，至宋陈抟始将失佚两千多年的河图、洛书及先天图、太极图传于后世。对此历代均有争议。围绕其来源，后世还有以下观点：①来源于道家炼丹养生术。②来源于对天河即银河星象的观测。③来源于对古气候、方位的观测。④来源于北斗斗柄指向及由此而产生的古代历法。⑤洛书起源彗星的气体尾巴轨迹。⑥河图数导源于《周易·系辞》“天地之数”，洛书亦导源于《周易》，以上诸说尚属一家之言，均未得到公认。
【传说】
关于河图洛书的传说，散见于各种史籍上，但说法不一，见解各异。这里介绍几种较为普遍的说法。
传说之一：
相传在伏羲氏时，伏羲氏教民“结绳为网以渔”，养蓄家畜，促进了生产的发展，改善了人们的生存生活条件。因此，祥瑞迭兴，天授神物。有一种龙背马身的神兽，生有双翼，高八尺五寸，身批龙鳞，凌波踏水，如履平地，背负图点，由黄河进入图河（今洛阳市孟津县，白鹤、送庄乡境内），游弋于图河之中。人们称之为龙马。这就是后人常说的“龙马负图”。伏羲氏见后，依照龙马背上的图点，画出了图样。接着，又有神龟负书从洛水出现。伏羲氏得到这种天赐的用符号表示的图书，遂据以画成了八卦。这就是《易*系辞上篇》记载的，“河出图，洛出书，圣人则之”。即伏羲氏“作八卦，以通神明之德，以类万物之情”。故后人在伏羲氏龙马负图处修建了负图寺。以纪念伏羲氏开拓文明的功绩。
传说之二：
据传在黄帝时，黄帝体察民情，亲自劳动，受到人民的爱戴。同时也感动了天神，于是风调雨顺，五谷丰登，人民安居乐业。一天，天神告诉黄帝说，洛水里有龙图龟书，你如果得到它，将会把天下治理的更好，于是黄帝便带领众头领，巡游于洛水之上。一日，时值大雾，隐约看见一条大鱼被困于河滩上，黄帝非常同情这条大鱼的遭遇，但又想不出什么好的解决方法，便命人杀五牲、祭天帝，并亲自跪下向天帝求助。天帝感动，连下大雨七天七夜，致使洛水暴涨，大鱼得以解救。大鱼走后，黄帝在洛水岸边得到了河图洛书，即《河图视萌篇》，上面用象形文字记载着人类所需的各种知识。这就是传说的“洛书鱼献”。据传，得书的地点在洛阳汉魏故城南，旧伊洛河汇流处。
传说之三：
唐尧时，尧带领众酋长东游于洛水。在太阳偏西时，偶然把玉璧沉入洛水，忽见洛水上光芒四起，有灵龟出而复隐。于是，尧便在洛水边修了一个祭坛，选择吉日良辰郑重其事的将璧玉沉入河底。稍倾，河底便光芒四射，接着又飞起一团云雾，在云雾中有喷气吐水之声。一阵大风过后，云开雾散，风平浪静，水上漂过一个大龟壳，广袤九尺，绿色赤文。壳上平坦处文理清晰，上有列星之分、七政之度，并记录着各代帝王兴亡之数。此后，易理文字便在人间传开。这就是传说的“灵龟”。
传说之四：
传说虞舜时，舜习尧礼，沉璧于洛水，水中有赤光忽起，有龟负图书而出。接着一卷甲黄龙，舒图书于云畔，将赤文篆字以授舜。这就是传说的“黄龙负书”。
传说之五：
传说禹时，禹治水来到洛河，见神龟负文，列于背，有数自一至九，禹遂因而第之，以成九畴。《册府元龟*帝王部》也说“夏禹即天子位，雒出龟书，六十五字，是为洪范，此所谓雒出书者也”。这是说，大禹因治水有功，有德于天下，故万民称颂，上天赐瑞。洛河出神龟，龟长1.2尺，龟背上有65个赤文篆字。有的说，此即《尚书》里的《洪范》篇，是治理国家的九种大法。
唐代诗人李矫在《咏洛》诗中有：“神龟方锡瑞，绿字重来臻”之句，一歌颂洛龟负书给中华民族带来了光明。龟书，可能就是我们现在所说的“甲骨文”。
【真伪考—图书之争】
亦称“河洛之争”。宋以来围绕河图洛书真伪、八卦是否据河洛而画等问题的论争。《周易·系辞下》提出“河出图，洛出书，圣人则之”之说，先秦两汉至唐代文献基本持此观点。然河洛图式早已失传，至少唐末已不可见。宋初陈抟以河图、洛书及先天图、太极图传世，于是引起肯定派（图书派）与否定派（疑古派）的论争。
图书派内部针对何谓河图、何谓洛书，有“图九书十”与“图十书九”的分歧，前者以刘牧为代表，王湜、朱震、郑樵、朱元升、李简、薛季宣、张理袭其说。后者以朱熹、蔡元定为代表。前者在宋元影响很大，后者则为后世通行说法。两者均坚信河出图、洛出书，圣人则之而画卦。疑古派则视河、洛为怪妄，并大肆攻击。其先驱为北宋欧阳修，其《易童子问》否定伏羲授河图画八卦，认为河图不在《易》之前。
元钱义方《周易图说》认为图、书之书，是因《周易》而造易数，绝不是因图、书而出《周易》。
元陈应润《周易爻变义蕴》指出，先天之图为道家假借《易》理以为修炼之术，不是《周易》本旨。
清黄宗羲《易学象数论》、黄宗炎《图书辨惑》亦认为图书之说，实由道家而来，与作《易》无关。
胡渭《易图明辨》认为洛书来源于《乾凿度》郑玄注及其九宫图，而河图亦为发挥《周易·系辞》“天地之数五十有五”而出。
另明刘濂《易象解》、清毛奇龄《河图洛书原篇》、张惠言《易图条辨》等均以为《易》未遭秦火，图书亦不当失，其中或认为河洛为道家炼丹养生之图，或认为只是画卦中一事，并非则之而画卦。众难纷然。
与此同时，肯定派则极力崇尚河洛，不仅反驳疑古派言论，而且在河洛研究、破释方面取得不少成果。宋图书派坚持自己立场，并为此宏扬。另王安石、苏轼亦不赞成欧阳修观点。元胡一桂、吴澄等力驳疑古之论，并作有益分析。清代解析河洛著作甚多。
李光地《周易折中》、胡煦《周易函书》、江永《河洛精蕴》均为上乘之作。民国至解放后，两派斗争依然持续不断。杭辛斋、黄元炳阐述河洛之意，多前人所未发。近代疑古派则顾颉刚为代表，其《三皇考·河图洛书的倒坠》彻底否定河洛。
一九七七年春，在安徽阜阳县双古堆发掘的西汉汝阴侯墓出土文物中，发现“太乙九宫占盘”，其图式与洛书完全相符，说明宋人图书，绝非臆造。一般认为洛书至迟于西汉初年已经存在，然对河图的来源及图书与《周易》谁先谁后等问题仍有争议。
【概要】
河图洛书所表达的是一种数学思想。只要细加分析便知，数字性和对称性是“图书”最直接、最基本的特点，“和”或“差”的数理关系则是它的基本内涵。完全可以用数学方法证明或推导出河图洛书，并证明河图与洛书同出一源。还可以发现，河图洛书与算盘”和“万字符”存在着一定程度的联系。
河图洛书是以黑点或白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合，并整体上排列成矩阵的两幅图式，如图所示。
河图洛书最有名的出处来自于《易传·系辞》中的“河出图，洛出书，圣人则之”这句话，并据此认为八卦就是根据这二幅图推演而来的，从而成为易学研究的重要课题之一。由于历代皆认为它们是“龙马负之于身，神龟列之于背”，所以多少世纪以来，它一直披着神秘的外衣，公认为是中华民族文化之源的千古之谜。
当审视、梳理河图洛书的历史踪迹之后，我们会发现这样一些共识：
——河图洛书，在先秦西汉的典籍中有其文字记载。《尚书·顾命》说“大玉，夷玉，天球，河图在东序”；《论语·子罕》称“子曰：风鸟不至，河不出图，吾已矣夫！”；《管子·小臣》讲：“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，今三祥未见有者。”以后，在汉代刘歆、孔安国、扬雄、班固等人的著作中也屡有提及。
至于河图洛书到底是个什么样子，各书上都没有明言。
——河图洛书在宋代初年才被发现。它们始传于宋代华山道士陈抟，他提出的图式叫作《龙图易》，《宋文鉴》中载有《龙图序》一文，讲到了龙图三变的说法，即一变为天地未合之数，二变为天地已合之数，三变为龙马负图之形，最后形成了河图洛书二个图式。但是，陈抟在龙图三变之后，没有提到河图洛书的名称。第一次给这两幅图命名的是北宋易学家刘牧，他精研陈抟所传《龙图易》，著书《易数钩隐图》，于是，河图洛书才为世人所知。当时，对采用“图十书九”，还是“图九书十”有过争论，最终定位于图十书九，一直延续至今。宋代的象数学家相信八卦就是由河图洛书这二幅图式推演而来的，从而，易学史上形成了用河图洛书解释八卦起源的图书派。
——洛书与汉初著作《大戴礼记》中记载的明堂九室，与西汉未年著作《乾凿度》中的九宫说，在9个数的方位配置上完全一致。明堂大约在原始社会末期出现，是我国古代社会生活中具有礼义兼祭祀作用的建筑物，深受历代统治者的重视。
总之，从现存的有关史料来看，河图洛书的来源古老悠久，扑朔迷离，没有一个明确可靠的答案。
怎样来正确认识河图洛书呢？
一、解析河图洛书
直观地考察河图洛书，不难发现，这两幅图具有数字性和结构对称性这两个明显特点：
第一，数字性。数的概念直接而又形象地包含在图书之中。“○”表示1；“●●”表示2；……依次类推，河图含有1~10共10个自然数，洛书含有1~9共9个自然数。其中，由黑点构成的数为偶数，由白点构成的数为奇数，表达了数的奇偶观念。因此，数字性是河图洛书的基本内容之一。
第二，对称性。两幅图式的结构分布形态对称，具体表现在二个层面：其一，由黑点或白点构成的每一个数的结构形态是对称的；其二，整体结构分布对称。河图，以二个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周。洛书，以数5居中，其余8个数均匀分布在八个方位。
进一步分析，河图洛书还包含着丰富的数理关系，下面分别论述。
河图包括的数理关系：
1、等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。
纵向数字：7、2；1、67+1=2+6
横向数字：8、3；4、98+4=3+9
并得出推论：河图中，除中间一组数[5，10]之外，奇数之和等于偶数之和，其和为20。
2、等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均为5。
洛书包含的数理关系：
1、等和关系。非常明显地表现为各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。
2、等差关系。细加辨别，洛书隐含着等差数理逻辑关系。
①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。
上边[4、9、2]9-4=5
下边[8、1、6]6-1=5
左边[4、3、8]8-3=5
右边[2、7、6]7-2=5
显然这个特点与河图一样，反映出洛书与河图有着一定的内在联系。
②通过中数5的纵向、横向或对角线上的三个数，数5与其它两数之差的绝对值相等。
纵向|5-9|=|5-1|或9-5=5-1
横向|5-3|=|5-7|或5-3=7-5
右对角线|5-2|=|5-8|或5-2=8-5
左对角线|5-4|=|5-6|或5-4=6-5
综合以上分析，我们可以清楚地发现，数理关系和对称性是河图洛书图的基本特点，河图洛书包含着基本的自然数之间“和或差”的算术逻辑关系，尽管两者有所差别，但是它们表示的数理关系有相似共同之处，有内在的必然联系。
推导河图洛书
用纯数学的方法来推导或证明河图洛书的形成过程。
中国文字的起源告诉我们，汉字属象形文字，书画同源，中国原始古人擅长以画图方式来表达对事物的认识。现在，不妨用原始的、简单的作图方法来寻找1~10这10个自然数之间的数理关系。
1、按对称分布方法作图，采用穷举法，以数5为母体居中，数1、2、3、4均匀分布在四周的组合图式有以下3种：
111
|||
2—5—43—5—43—5—2
|||
324
A—1A—2A—3
如图所示，这些图式可以看作是表示了1~5这5个自然数之间的相互关系。
2、当以上图式中的各数，加上5时，就表示了6~10这5个自然数之间的相互关系，其图式为：
3、把上述对应图式两两重叠，就表示了1~10这10个自然数之间的相互关系，其图式为：
整理C系列图式：
①C—1图式
纵向6+8≠1+3
横向2+4≠7+9
即其纵向或横向的奇数之和不等于偶数之和。
这个图式体现不出数字之间的运算规律性，故舍去。
②C—2图式
纵向6+2=7+1
横向8+4=9+3
即其纵向或横向的奇数之和等于偶数之和，故保留。
7/2
|
由C—2图式T8/3—10/5—9/4
|
6/1
此图式即为河图。
③C—3图式
纵向6+4=1+9
横向8+2=7+3
即其纵向或横向的奇数之和等于偶数之和，且这两个方向的奇数或偶数之和也相等，均为10。所以这个图式还可以进一步演化。
168316
由C-3图式T810/57T
10/57
32
49492
舍去10T816T492
357357
492816
最后一个图式即为洛书或九宫图。
由此可见，河图洛书同出一源，是数学逻辑推理的结果，洛书较之河图表达的数理关系更为丰富、高级一些。河图洛书以图示方式表示出最基本的自然数之间的“和差关系”，本质上表现为数学思想。
构思河图洛书起源的历史原因
数学是人类走向文明的向导，人们离不开数学，否则，就不能正确分析和把握客观事物，就不能正确认识客观世界。在三百万年前的中国原始社会，结绳记事昭示了人类数学文明的启蒙。在人类最初经历的原始社会，尽管生产力水平低下，但也存在着比较简单的社会生产、交换、分配和消费等社会生产活动过程。这些活动离不开数，可以想象，原始人要用数来清点劳动人数和计算劳动工具，要用数来记录农牧和渔猎的劳动成果，要用数来分配劳动产品，还要用数来交换剩余劳动产品，如此等等。否则原始社会的生产活动就不能顺利进行，生产力就不能向前发展。人类最初对数的认识就是在这种原始社会生产实践活动中产生并逐渐发展起来的。随着原始人对数的知识的不断增加，必然会总结出最早的、最初级的数学规律。
不妨把河图洛书假设为与原始社会生产力水平相应的数学规律，这个结论能够成立的主要理由是：1、河图洛书反映了加减法运算法则，表达了和差数理关系，是数学史上最初级的数学规律；2、河图洛书中各数的表示方法与结绳记数方法相符合；3、河图洛书是对数及数理关系的如实形象描绘，属象形文化范畴。所以，河图洛书的起源可以追溯到中国文字的起源阶段，它产生于中国文字形成之前的原始社会。
河图洛书，特别是洛书很可能作为一种计算工具或计算原理在原始社会生产活动过程中起着重要作用，这种作用在明堂建筑中或多或少可以看出。从表面上看，洛书出现在古代礼仪兼祭祀的场所。洛书运用于明堂建筑便是证明。其实，在其它古代礼仪兼祭祀的场所，也发现了洛书的踪迹。例如，西安半坡新石器晚期彩陶鱼纹具有分别表示从一至九条鱼的数的神秘意蕴，这种鱼纹彩陶是祭器，设于祭场，其数据排列也是南九北一，东三西七，东南四西北六，西南二东北八，中央五、与洛书相同。（参见赵国华《八卦符号与半坡鱼纹》）从本质上看，古代礼仪兼祭祀的场所是举行重大活动的地方，而最重大的活动莫过于分配劳动产品。在原始社会氏族公社制度下，当人们经过一定时期的劳动，需要分配劳动果实，共享丰收喜悦之时，大家集中起来，举行盛大庆典活动。他们要祭祀，告慰先祖，感恩上苍；他们要采取一定方法，正确盘点和合理分配劳动产品，在这个过程中，原始人利用洛书进行计算，洛书起着计算工具或计算原理的作用，从而，大大方便了对劳动产品盘点和分配工作。也许，正因为洛书的存在直接关系到每个人的切身利益，所以洛书便成为原始古人崇拜的吉祥物。由于洛书与龟背的自然生成的形状具有同构性，因而，洛书可以烙刻在龟背上，于是也就有了洛龟贡书的美好传说。
（四）关于与河图洛书相关的内容
关于河图洛书与《易经》的关系，这里不谈。要讲的是一些不为人们注意的有关内容。
1、洛书隐含万字符。
洛书稍为变化，就可推进万字符：
④⑨②
③⑤⑦T
⑧①⑥
在万字符结构状态下，洛书隐含的，即不易一眼看出的数理关系，十分清楚地被反映出来，如两数之差为5的四组数；万字符的两个曲臂上，各数之和相等，均为25，等等。换句话说，万字符是对洛书的一种独特的数学解析，并且它反映出洛书与河图在数理方面的内在联系，只要把曲臂外侧拉直，洛书的结构形态就与河图一致。当有了洛书和万字符，把河图省去也可以，因为河图中的数理关系也基本得到了反映。鉴于以上分析，与其说万字符象征着光芒四射的太阳光线，还不如说万字符是洛书的转化形态，一方面，我们无论如何也不能从光线中看出万字符;另一方面，古人因崇拜洛书而敬仰万字符也是说得通的。
2、河图洛书包含算盘的数学原理
首先从数学原理看，河图洛书的数理特点与算盘的主要规则相吻合：其一，河图四侧的两数之差均为5，即一个大于5的基本自然数可表示为数5加上一个小于5的自然数，这与算盘珠码中把5颗下珠升作一颗上珠的五升制规则相对应；其二，洛书的纵、横和对角线方向上的三数之和均为15，这与算盘中每档7珠的示值相一致。其次从历史发现看，尽管“操珠运算”的思想历史悠久，但最早记录的成熟算盘是宋初（公元960—1127年）反映人民生活的宏大画卷“清明上河图”，这幅图的左端有一架十五格（档）七个黑点（珠）的大算盘。而河图洛书尽管在先秦时期早有传说，但直到宋初才被世人所知。河图洛书的发现与算盘的产生的历史时间有着惊人的巧合。综上缘由，可以作一猜想，算盘的实物形态起源于珠，算盘的数学原理来自于河图洛书。
最后需要指出的是，认识事物只有从事物本身的内容以及相互联系的事物出发，才能找到正职的答案。河图洛书的本质是数学，是原始古人创造的一项数学成果，这些正确的思想是不会从天上掉下来的，古人称：“洛书者，数之源也”的观点名副其实。